Проект «Простые числа»: Ферма

 РУС ENG

Здесь собрана информация об известных Простых числах Ферма и проектах, занимающихся их дальнейшим поиском.

Последний раз страница обновлялась - 24.01.2022
Главная Виды чисел Проекты Программы Команды Персоны Отчеты
 
Главная
➥ Виды чисел

  ➥ Простые числа Ферма


Определение: Числа Ферма - это числа вида 2^x+1, причем Простые числа имеют вид 2^2^m+1

Последовательность: 3, 5, 17, 257, 65537, ... , ??? (A019434 >>>)

Смотрите также: Делители чисел Ферма (k×2^n + 1)

Смотрите также: Кофакторы чисел Ферма (k×2^n + 1)

Смотрите также: Обобщенные Простые числа Ферма (a^2^m + b^2^m)

Общее описание:

Числа были названы в честь французского математика-самоучки Пьера де Ферма (1601 - 1665), одного из основоположников математического анализа, аналитической геометрии, теории чисел и теории вероятностей.
Перебирая числа вида 2^x+1, он обнаружил, что почти все они имеют тривиальные множители:

2^3 +1 = (2+1)×(2^2 -2 +1)
2^5 +1 = (2+1)×(2^4 -2^3 +2^2 -2 +1)
2^6 +1 = (2^2+1)×(2^4 -2^2 +1)
2^7 +1 = (2+1)×(2^6 -2^5 +2^4 -2^3 +2^2 -2 +1)
...

А вот при x = 1, 2, 4, 8, 16 (т.е. x = 2^m) получаются именно Простые числа. Он предположил, что и дальше все такие числа окажутся Простыми. Но уже в 1732 году Леонард Эйлер разложил число 2^2^5 +1 = 2^32 +1 = 4294967297 = 641×6700417

Это положило начало дальнейшему поиску нетривиальных делителей, а также оставило открытой математическую проблему: "Существуют ли Простые числа Ферма для m > 4"?

Для краткости, в литературе принято обозначать числа Ферма как Fm (F5, F12, F33, ...)

Ответить на этот вопрос не удается и сегодня. Данный числовой ряд имеет крайне быстрый рост размерности чисел, поэтому даже с применением современнейшей компьютерной техники поиск новых Простых чисел Ферма достиг своего "технологического потолка".

Так, в 1900-х Джеймс С. Морхед и Альфред Вестерн использовали Тест Пепина для F7 и F8, статус которых был на тот момент неизвестен. Оба теста показали, что числа - составные. А их разложения на сомножители были найдены только ближе к концу XX века благодаря прорыву в математической теории.

Тест Пепина применялся всего 8 раз в истории, последний раз - для F24 в 1999 году Эрнстом В. Майером, Джейсоном С. Пападопулосом и Ричардом Крэндаллом. Вычисление выполнялось на многих компьютерах и заняло 200 дней. Результат: F24 - составное число. Ни одного его делителя не найдено до сих пор!

Сейчас энтузиасты продолжают искать новые делители, чтобы доказать составной характер того или иного претендента.



Простые числа Ферма (5 чисел)

m = 0: 2^2^0+1 = 2^1  +1 =      3
m = 1: 2^2^1+1 = 2^2  +1 =      5
m = 2: 2^2^2+1 = 2^4  +1 =     17
m = 3: 2^2^3+1 = 2^8  +1 =    257
m = 4: 2^2^4+1 = 2^16+1 = 65.537



Составные числа Ферма (316 чисел)

m =  5: 2^2^5  +1 = 2^32    +1 > делится на 641 (Л.Эйлер в 1732)
m =  6: 2^2^6  +1 = 2^64    +1 > делится на 274.177
m =  7: 2^2^7  +1 = 2^128   +1 > делится на 59.649.589.127.497.217
m =  8: 2^2^8  +1 = 2^256   +1 > делится на 1.238.926.361.552.897
m =  9: 2^2^9  +1 = 2^512   +1 > делится на 2.424.833
m = 10: 2^2^10 +1 = 2^1024 +1 > делится на 45.592.577
m = 11: 2^2^11 +1 = 2^2048 +1 > делится на 319.489
m = 12: 2^2^12 +1 > делится на 114.689
m = 13: 2^2^13 +1 > делится на 2.710.954.639.361
m = 14: 2^2^14 +1 > делится на 116.928.085.873.074.369.829.
                  .035.993.834.596.371.340.386.703.423.373.313
m = 15: 2^2^15 +1 > делится на 1.214.251.009
m = 16: 2^2^16 +1 > делится на 825.753.601
m = 17: 2^2^17 +1 > делится на 31.065.037.602.817
m = 18: 2^2^18 +1 > делится на 13.631.489
m = 19: 2^2^19 +1 > делится на 70.525.124.609
m = 20: 2^2^20 +1 >>> составное, доказано Тестом Пепина (1987)
m = 21: 2^2^21 +1 > делится на 4.485.296.422.913
m = 22: 2^2^22 +1 > делится на 64.658.705.994.591.851.009.055.774.868.504.577
m = 23: 2^2^23 +1 > делится на 167.772.161
m = 24: 2^2^24 +1 >>> составное, доказано Тестом Пепина (1999)
m = 25: 2^2^25 +1 > делится на 25.991.531.462.657
m = 26: 2^2^26 +1 > делится на 76.861.124.116.481
m = 27: 2^2^27 +1 > делится на 151.413.703.311.361
m = 28: 2^2^28 +1 > делится на 1.766.730.974.551.267.606.529
m = 29: 2^2^29 +1 > делится на 2.405.286.912.458.753
m = 30: 2^2^30 +1 > делится на 640.126.220.763.137
m = 31: 2^2^31 +1 > делится на 46.931.635.677.864.055.013.377
m = 32: 2^2^32 +1 > делится на 25.409.026.523.137
...
m =  5523858: 2^2^5523858   +1 > делится на 13×2^5523860  +1
m =  7963245: 2^2^7963245   +1 > делится на 27×2^7963247  +1
m = 18233954: 2^2^18233954 +1 > делится на  7×2^18233956 +1



Числа Ферма неизвестного характера

m = 33:   2^2^33 +1 > Ждет своих искателей (Тест Пепина ~10.000 лет)
m = 34:   2^2^34 +1 > Ждет своих искателей
m = 35:   2^2^35 +1 > Ждет своих искателей
m = 41:   2^2^41 +1 > Ждет своих искателей
m = 44:   2^2^44 +1 > Ждет своих искателей
m = 45:   2^2^45 +1 > Ждет своих искателей
m = 46:   2^2^46 +1 > Ждет своих искателей
m = 47:   2^2^47 +1 > Ждет своих искателей
m = 49:   2^2^49 +1 > Ждет своих искателей
m = 50:   2^2^50 +1 > Ждет своих искателей
m = 51:   2^2^51 +1 > Ждет своих искателей
m = 53:   2^2^53 +1 > Ждет своих искателей
m = 54:   2^2^54 +1 > Ждет своих искателей
m = 56:   2^2^56 +1 > Ждет своих искателей
m = 57:   2^2^57 +1 > Ждет своих искателей
m = 59:   2^2^59 +1 > Ждет своих искателей
m = 60:   2^2^60 +1 > Ждет своих искателей
m = 67:   2^2^67 +1 > Ждет своих искателей
m = 68:   2^2^68 +1 > Ждет своих искателей
m = 69:   2^2^69 +1 > Ждет своих искателей
m = 70:   2^2^70 +1 > Ждет своих искателей
m = 74:   2^2^74 +1 > Ждет своих искателей
m = 76:   2^2^76 +1 > Ждет своих искателей
m = 78:   2^2^78 +1 > Ждет своих искателей
m = 79:   2^2^79 +1 > Ждет своих искателей
m = 80:   2^2^80 +1 > Ждет своих искателей
m = 82:   2^2^82 +1 > Ждет своих искателей
m = 84:   2^2^84 +1 > Ждет своих искателей
m = 85:   2^2^85 +1 > Ждет своих искателей
m = 87:   2^2^87 +1 > Ждет своих искателей
m = 89:   2^2^89 +1 > Ждет своих искателей
m = 92:   2^2^92 +1 > Ждет своих искателей
m = 95:   2^2^95 +1 > Ждет своих искателей
m = 97:   2^2^97 +1 > Ждет своих искателей
m = 98:   2^2^98 +1 > Ждет своих искателей
m = 100: 2^2^100+1 > Ждет своих искателей
m = 101: 2^2^101+1 > Ждет своих искателей
m = 102: 2^2^102+1 > Ждет своих искателей
...
m = 1980:   2^2^1980 +1 > Ждет своих искателей
m = 1981:   2^2^1981 +1 > Ждет своих искателей
m = 1982:   2^2^1982 +1 > Ждет своих искателей
m = 1983:   2^2^1983 +1 > Ждет своих искателей
m = 1984:   2^2^1984 +1 > Ждет своих искателей
m = 1985:   2^2^1985 +1 > Ждет своих искателей
m = 1986:   2^2^1986 +1 > Ждет своих искателей
m = 1987:   2^2^1987 +1 > Ждет своих искателей
m = 1988:   2^2^1988 +1 > Ждет своих искателей
m = 1989:   2^2^1989 +1 > Ждет своих искателей
m = 1991:   2^2^1991 +1 > Ждет своих искателей
m = 1992:   2^2^1992 +1 > Ждет своих искателей
m = 1993:   2^2^1993 +1 > Ждет своих искателей
m = 1994:   2^2^1994 +1 > Ждет своих искателей
m = 1995:   2^2^1995 +1 > Ждет своих искателей
m = 1996:   2^2^1996 +1 > Ждет своих искателей
m = 1997:   2^2^1997 +1 > Ждет своих искателей
m = 1998:   2^2^1998 +1 > Ждет своих искателей
m = 1999:   2^2^1999 +1 > Ждет своих искателей
m = 2000:   2^2^2000 +1 > Ждет своих искателей
m = 2001:   2^2^2001 +1 > Ждет своих искателей
m = 2002:   2^2^2002 +1 > Ждет своих искателей
m = 2003:   2^2^2003 +1 > Ждет своих искателей
m = 2004:   2^2^2004 +1 > Ждет своих искателей
m = 2005:   2^2^2005 +1 > Ждет своих искателей
m = 2006:   2^2^2006 +1 > Ждет своих искателей
m = 2007:   2^2^2007 +1 > Ждет своих искателей
m = 2008:   2^2^2008 +1 > Ждет своих искателей
m = 2009:   2^2^2009 +1 > Ждет своих искателей
m = 2010:   2^2^2010 +1 > Ждет своих искателей
m = 2011:   2^2^2011 +1 > Ждет своих искателей
m = 2012:   2^2^2012 +1 > Ждет своих искателей
m = 2013:   2^2^2013 +1 > Ждет своих искателей
m = 2014:   2^2^2014 +1 > Ждет своих искателей
m = 2015:   2^2^2015 +1 > Ждет своих искателей
m = 2016:   2^2^2016 +1 > Ждет своих искателей
m = 2017:   2^2^2017 +1 > Ждет своих искателей
m = 2018:   2^2^2018 +1 > Ждет своих искателей
m = 2019:   2^2^2019 +1 > Ждет своих искателей
m = 2020:   2^2^2020 +1 > Ждет своих искателей
m = 2021:   2^2^2021 +1 > Ждет своих искателей
m = 2022:   2^2^2022 +1 > Ждет своих искателей
...


Минимальное из этих чисел - F33 состоит из 2.585.827.973 цифр. Даже для него проведение Теста Пепина выходит за пределы текущих технических возможностей Человечества!

Поэтому энтузиасты сосредоточились на факторизации данных чисел. Но и найти новый делитель - крайне непросто, это настоящее Событие! Некоторые искатели увлеченно ищут делители у свободных кандидатов по году рождения, например, m = 98 или 1998. Если такой поиск увенчается успехом - это будет невероятно редкий и незабываемый Подарок!




FermatSearch Status: http://www.fermatsearch.org/factors/composite.php

ProthSearch Status:   http://prothsearch.com/fermat.html

Wolfram MathWorld: https://mathworld.wolfram.com/FermatPrime.html

The PrimePages: https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=FermatNumber

Компьютерра: Числа Ферма от Эйлера до наших дней , Продолжение , Окончание

Википедия: https://ru.wikipedia.org/wiki/Число_Ферма
Главная Виды чисел Проекты Программы Команды Персоны Отчеты

Яндекс.Метрика
© Copyright 2014 - 2022 by Alex_soldier
Сайт сделан по технологии AML